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9.1次元ロッド要素｜FEM基礎理論

今回重み付き残差法で導出した剛性マトリクスや荷重ベクトルが「FEMを体感しよう！」で導出した式と同じなるか確認してみます。

要素剛性マトリクス

改めて要素剛性マトリクスを以下に示します。これは4項で説明しました。

　・・・(4-8)

ここで、形状関数は8項で説明したように下式で表すことができます。

　・・・(8-10)

形状関数の微分は下式のようになります。

　・・・(9-1)

これを式(4-8)に代入します。

　・・・(9-2)

4項で説明した要素荷重ベクトルを改めて以下に示します。

　・・・(4-13)

「FEMを体感しよう」では物体力bを考慮していませんでしたので、荷重ベクトルは節点に加わる荷重pだけの項になります。

　・・・(9-3)

式(9-2)と式(9-3)より、要素iに着目した構造解析の基本式は下式のようになります。

　・・・(9-4)

これまでやたらと面倒な計算をしてきましたが、「FEMを体感しよう！の2.要素剛性マトリクス」で説明した式(2-12)と同じ形式になることが確認できました(文字の使い方に多少違いはありますが・・)。その後の手順は「FEMを体感しよう！」と同一なのでここでは省略します。

今回は1次元で計算してみましたが、結構大変でしたね。これを3次元に展開するともっと大変なことになります・・。時間があればチャレンジしてみてはいかがでしょうか？本当はアイソパラメトリック要素など、有限要素法を理解する上で重要な話がまだまだたくさんあるのですが、別な機会にまとめたいと思っています。

以上、今回は有限要素法の基礎的な理論について簡単にまとめてました。少しでも参考にしていただければ幸いです。