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07-2.ランダム応答解析｜動解析入門

振動を統計的に取り扱うための準備

ランダム応答解析では振動の時系列波形を議論するのではなく、パワースペクトル密度関数(PSD)や標準偏差などのパラメータを用いて振動を取り扱います。これらを理解するために必要な定義を説明していきます。

平均値

ランダム波形の関数をx(t)とすると、x(t)の平均値は下式となります。積分の形式となっていますが、意味するところは単純な時間平均です。

　・・・(7-2-1)

ちなみにランダム応答解析ではE(x)=0の振動波形が想定されます。

自乗平均値

x(t)の自乗平均値は下式となります。

　・・・(7-2-2)

理論的には3乗平均、4乗平均・・・など高次に展開できますが、通常は自乗(2乗)平均までを取り扱います。

分散

平均値まわりの自乗平均値は分散と呼ばれ、下式となります。

　・・・(7-2-3)

平均値E(x)=0の場合、分散と自乗平均値は等しくなります。

標準偏差

分散の平方根は標準偏差となります。標準偏差はσで表記します(応力の意味のσではないことに注意)。

　・・・(7-2-4)

分散とか標準偏差という用語が出てくると、何となく統計的な感じがしてきますね。

実効値(RMS値)

平均値E(x)=0の場合の標準偏差は自乗平均の平方根となり、いわゆる実効値(RMS値)と等しくなります。

　・・・(7-2-5)

ランダム応答解析では平均値E(x)=0の振動を取り扱いますので、標準偏差=実効値となります。

自己相関関数

自己相関関数はx(t)の時刻をτだけオフセットさせたx(t+τ)とx(t)とを乗じた値の平均として下式のように定義されます。

　・・・(7-2-6)

自己相関関数は時系列データの周期性を評価するのに使用されます。自己相関関数はτが0の時に最大値をとる性質があります。データの不規則性が強い場合、τ=0以外での値は小さくなります。周期性がある場合、あるτの値でピークが表れ、その間隔で周期が解ります。

自己相関関数はτ=0で下式のようになり、自乗平均を求める式と等しくなります。

　・・・(7-2-7)

パワースペクトル密度関数(PSD)

パワースペクトル密度関数(PSD=Power Spectral Density)は自己相関関数をフーリエ変換したものとして定義されています。

　・・・(7-2-8)

PSDは1Hz幅当たりのパワー値を表します。

パワースペクトル密度関数と標準偏差

パワースペクトル密度関数の逆変換は、

　・・・(7-2-9)

τ=0とすれば、

　・・・(7-2-10)

上式の右辺はPSD曲線とω軸とで囲まれる面積を表します。また左辺はτ=0とおいたときの自己相関関数となりますが、これは自乗平均値と等しくなります。ランダム応答解析では平均値=0の振動を取り扱いますので、自乗平均値=分散となります。また、分散の平方根は標準偏差となります。

　いろいろ難しくなってきましたが、PSD曲線とx軸とで囲まれる面積の平方根は標準偏差を表すということだけ理解してください。

応力PSDの場合には下図のようになります。

ランダム応答解析で強度を評価する際には実際の応力値ではなく、応力の標準偏差を用いて統計的に評価することになります。解析ソフトウェアによっては標準偏差とは呼ばない場合も多く、自乗平均平方根や実効値(RMS値)、Abaqusでは平方自乗平均など、いろいろな言い方があるので混乱することがあります。しかしどれも同じことを言っています。ここでは統計的な意味合いを強調するために、標準偏差と呼ぶことにします。